Déterminer la valeur de cos pi/8

Énoncé

1. Soit $z=x+iy$ et $z^2=a+ib$ les formes algébriques de  $z$ et $z^2$ . Montrer que, si $\left|z\right|=1$ , alors  $x^2={\displaystyle \frac{1+a}{2}}$   et  $y^2={\displaystyle \frac{1-a}{2}}$ .

2. On pose $x=\cos {\displaystyle \frac{\pi }{8}}$  et $y=\sin {\displaystyle \frac{\pi }{8}}$ (ainsi, $z=x+iy$ est de module 1).  Donner la forme trigonométrique de $z^2$ et en déduire les valeurs de $\cos {\displaystyle \frac{\pi }{8}}$ et de  $\sin {\displaystyle \frac{\pi }{8}}$ .